私请的月嫂的辞退方式主要取决于双方是否签订了书面合同以及合同中的相关条款。以下是几种可能的情况和建议：
合法解约
如果双方签订了书面合同，并且合同中约定了合同解除权或法定合同解除权的条件，那么雇主可以根据合同约定的条件合法解约，且不需要承担违约责任。
违约解除合同
如果雇主在合同期内违约解除合同，例如未支付约定的工资或违反了合同中的其他条款，那么守约方可以要求违约方继续履行合同，或者同意解除合同并要求违约方承担违约责任。
提前通知
无论何种原因解除合同，雇主都应提前通知月嫂，并给予其一定的时间安排后续事宜。如果合同中有关于通知期限的约定，应按照约定执行。
支付违约金
如果合同中有明确的违约责任条款，雇主需要按照合同约定支付违约金。如果合同中没有明确约定，双方可以协商解决，但应确保公平合理。
委婉辞退
如果希望月嫂能够体面地离开，雇主可以委婉地找个理由，例如家庭原因或其他安排，避免直接伤害月嫂的感情。
通过中介或平台
如果月嫂是通过中介或平台推荐的，雇主可以联系中介或平台，按照合同条款或平台规定进行解聘，通常这些机构会有相应的流程和解决方案。
建议
提前沟通：无论采取何种方式解聘月嫂，都应提前与月嫂进行充分沟通，说明原因和安排，以减少不必要的误解和冲突。
合同条款：仔细审查合同条款，了解双方的权利和义务，确保解聘过程合法合规。
记录证据：在解聘过程中，保留相关证据，如书面通知、合同解除协议等，以备后续可能出现的纠纷。
通过以上步骤，可以确保私请的月嫂能够顺利辞退，同时维护双方的权益。