在我国，申请分居并没有一个专门的官方机构或部门。分居通常被视为夫妻之间的一种自愿行为，不需要办理特别的手续。夫妻之间可以自行商量并决定分居，然后开始分开居住。
然而，如果考虑通过法律途径正式分居并可能进一步走向离婚，那么可能需要采取以下步骤：
签订分居协议
夫妻双方可以自愿签订分居协议，明确双方的权利和义务。分居协议通常需要双方自愿签署，并可以请律师协助起草以确保其法律效力。
向法院申请
如果一方希望正式分居并可能提起离婚诉讼，可以向法院提交分居协议和相关证据，申请单方强制分居。法院在审核和听证后，可能会颁布分居命令，对双方的权利义务做出具有法律约束力的规定。
法律咨询
由于分居和离婚涉及复杂的法律问题，建议咨询当地律师，详细了解所在州或国家的分居法令和具体程序。不同地区可能有不同的规定和程序要求。
综上所述，申请分居并没有一个固定的机构或部门，但夫妻双方可以通过签订分居协议和向法院申请的方式来实现。建议咨询专业律师以获取更详细和准确的法律建议。